Метод Ітерацій (Метод Послідовних Наближень)

Суть методу полягає у заміні початкового рівняння
          (4.18)
еквівалентним йому рівнянням
      ,     (4.19)
Постановка задачі
Нехай задано рівняння   , де   – неперервна нелінійна функція. Потрібно визначити корінь   цього рівняння, який знаходиться на відрізку   з заданою похибкою   .
Виберемо довільним способом   і підставимо його в праву частину рівняння (4.18); тоді отримаємо   . Потім це значення   підставимо знову в праву частину рівняння (4.19) і отримаємо   (рис. 4.18 а,б). Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел   . При цьому можливі два випадки:
•   послідовність   збігається, тобто має границю, і тоді ця границя буде коренем рівняння (4.18).
•   послідовність   розбігається, тобто не має границі.
Приведемо без доказу теорему, яка виражає умову, при якій ітераційний процес розв’язку нелінійного рівняння методом ітерацій на ЕОМ збігається.
     
    Рисунок 4.18 Геометрична інтерпретація методу ітерацій
Теорема. Нехай на відрізку   знаходиться єдиний корінь рівняння   та у всіх точках