Квадратичне наближення функцій. Алгебраїчні многочлени найкращого квадратичного наближення

Поняття про наближення функцій

Нехай величина "y" є функцією аргумента "х", тобто будь−якому значенню "х" з області визначення поставлено у відповідність значення "у".
      На практиці досить часто бувають випадки, коли неможливо записати зв'язок між "х" та "у" у вигляді деякої залежності у = f(x). Най-більш поширеним випадком, коли вид зв'язку між параметрами х та у невідомий, є задання цього зв'язку у вигляді таблиці {xi, yi}. Це означає, що дискретній множині значень аргумента {xi} поставлена у відповідність множина значень функції {yi} (і=[pic]). Цими значеннями можуть бути, наприклад, експериментальні дані. На практиці можуть бути потрібні значення величини у і в інших точках, відмінних від вузлів xi. Однак одержати ці значення можна тільки експериментальним шляхом, що не завжди зручно і вигідно.
      З точки зору економії часу та засобів доцільно було б використати наявні табличні дані для наближеного обчислення шуканого параметра "у" при будь−якому значенні (з деякої області, звичайно) визначального параметра "х", оскільки точний зв'язок у = f(x) невідомий.
      Цій меті служить задача про наближення (апроксимацію) функцій:
– дану функцію f(x) потрібно наближено замінити (апроксимувати) деякою функцією φ(х) так, щоб відхилення (в певному розумінні) φ(х) від f(x) в заданій області було найменшим. При цьому функція φ(х) називається апроксимуючою.
      Наприклад, в тому випадку, коли функція f(x) задається у вигляді таблиці значень, задача апроксимації полягає в наступному: за табличними даними підібрати таку аналітичну залежність φ(х), яка мала б просту структуру, згладжувала б особливості заданої експериментальної таблиці і найкращим чином відбивала б загальний хід зміни f(x) в середньому. Тобто основна мета апроксимації – одержати швидкий   (економний) алгоритм обчислення значень f(x) для значень x, що не містяться