Мат аналіз шпори

15. Формула Гріна.

Формула Гріна встановлює зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2 роду.   [pic]
Розглянемо подвійний інтеграл [pic]Запишемо його   вигляді повторного інтеграла, а саме, [pic]=[pic][pic] (*). Кожен із отриманих інтегралів може бути замінений криволінійним інтегралом:
[pic]=[pic] Ці інтеграли дорівнюють нулю, оскільки відрізки PS, RQ є перпендикулярними до осі Ox. Тоді [pic]=[pic]+[pic]+[pic]+[pic]=[pic]
Аналогічно отримаємо формулу [pic](*)
Віднімаючи   почленно від рівності (*) рівність(**) отримаємо [pic]
17. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його.

Нехай [pic]проста поверхня, задана рівнянням [pic]= [pic]і на цій поверхні визначена неперервна функція F(x,y,z). Подвійний інтеграл [pic] наз. поверхневим інтегралом I роду від функції F(x,y,z) по поверхні [pic]і позначають [pic]. Отже за означенням [pic]. Використавши формулу dS= [pic][pic]=[pic] отримаємо вираз для обчислення інтеграла І роду:
[pic][pic]. Якщо поверхня задана явним рівнянням z=f(x,y), то формула набуде вигляду   [pic][pic].
Приклад. Обчислити поверхневий інтеграл [pic]де [pic]-поверхня конуса z=x[pic]+y[pic], 0≤z≤1,
                                                          [pic]

18.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення.
Якщо вздовж кривої (АВ) визначені функції P(x,y) і Q(x,y) і існують інтеграли [pic] і [pic], то суму цих двох інтегралів називають загальним криволінійним інтегралом 2 роду і позначають так: [pic]. Аналогічно виводять поняття криволінійного інтеграла 2 роду по просторовій кривій