Сьома проблема Гільберта

Сьома проблема Гільберта
Формулювання проблеми
Сьома проблема Гільберта формулюється наступним образом:
Нехай а – невід’ємне алгебраїчне число, яке не дорівнює 1, b – ірраціональне алгебраїчне число. Довести, що ab є числом трансцендентним.
В 1934 році радянський математик Гельфонд і трохи пізніше німецький математик Шнайдер довели справедливість цього твердження, і таким образом, ця проблема була вирішена.
Ірраціональні числа
Підмножину числової прямої можна представити так:

Зовсім неважко привести в приклад ірраціональне число, наприклад 2, яке представим у вигляді раціонального числа. Дійсно, його можна представити у вигляді незкорочуваного дробу:
2=pq, де p і q – цілі числа, не маючі спільних дільників. Звівши рівність до квадрату отримаємо, 2p2=q2.
Це означає, що p2 парне, p*p ділиться на 2. Тому p ділиться на 2, а отже p2 ділиться на 4. Тоді
2q2=4p12,
q2=2p12.
Це означає, що q2 ділиться на 2, тому і q також ділиться на 2.
Ми отримали, що p та q, діляться на 2, і дріб pq можна скоротити на 2. Але ми ж казали, що цей дріб не скорочується. Тому ця суперечність доводить, що 2 не може бути раціональним числом.
Висновок: 2 - число ірраціональне.
Алгебраїчні та трансцендентні числа
Число α називається алгебраїчним, якщо воно являється коренем деякого многочлену з цілими коефіцієнтами
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
Множину алгебраїчних чисел будемо позначати буквою А.
Легко побачити, що будь-яке раціональне число являється алгебраїчним. Дійсно,   pq - корінь рівняння qx-p = 0 з цілими коефіцієнтами