Доведення теореми Піфагора

Різні доведення теореми Піфагора

Рис. 2

Доведення 2
Побудуємо ΔBDE = ΔACB так, щоб B   CD ( рис 2).
Тоді чотирикутник ACDE - трапеція, бо AC || DE як два перпендикуляри до CD. Маємо:

SACDE = ·CD = ·2 (1)

Крім того, SACDE = SΔABE + 2SΔABC. Трикутник ABE рівнобедрений і прямокутний. Дійсно, якщо позначимо АВС = BED = , тоді в прямокутному трикутнику BDE DBE = 90° - . За побудовою CBD = 90°.Таким чином, ABE = 180° - °, SΔABC=, SΔABC= .

Тоді SACDE=   ( 2 )

Порівнюючи рівності ( 1 ) і ( 2 ), дістанемо:

Доведення 3. Побудуємо CD   AB ( рис.3 ).
Нехай CAB = BCD = . Тоді SΔABC = sin. Оскільки ,
SΔABC =   ( 1 )

Аналогічно: SΔACD =   ( 2 )

SΔBCD =   ( 3 )

За побудовою SΔABC = SΔACD + SΔBCD. ( 4 )
З рівностей ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) випливає:


тобто

Рис.3   Рис.4

Доведення 4. Впишемо в трикутник АВС коло ( О, r ) ( Рис.4 ). Тоді:

SΔABC