Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є - операція, що зіставляє функції речовинної змінної іншу функцію дійсної змінної. Ця нова функція описує коефіцієнти ("амплітуди") при розкладанні вихідної функції на елементарні складові - гармонійні коливання з різними частотами.
Перетворення Фур'є функції f речовинної змінної є інтегральним перетворенням і задається наступною формулою:

Зазначимо, що різні джерела можуть давати визначення, що відрізняються від наведеного вибором коефіцієнта перед інтегралом, а також знака "-" в показнику експоненти. Всі властивості в цьому випадку будуть аналогічні, хоча вигляд якихось формул може змінитися.
Крім цього, існують різноманітні узагальнення цього поняття, які будуть наведені нижче.

1. Властивості
Хоча формула, що задає перетворення Фур'є, має ясний сенс тільки для функцій класу   , Перетворення Фур'є може бути визначено і для більш широкого класу функцій, і навіть узагальнених функцій. Це можливо завдяки ряду властивостей перетворення Фур'є:
• Перетворення Фур'є є лінійним оператором :

• Справедливо рівність Парсеваля : якщо   , То перетворення Фур'є зберігає L 2 -Норму:

Ця властивість дозволяє по безперервності поширити визначення перетворення Фур'є на весь простір   . Рівність Парсеваля буде при цьому справедливо для всіх   .
• Формула звернення:

справедлива, якщо інтеграл в правій частині має сенс. Зокрема, це вірно, якщо функція f є досить гладкою. Якщо   , То формула також вірна, оскільки рівність Парсеваля дозволяє надати інтегралу в правій частині сенс за допомогою граничного переходу.
Ця формула пояснює фізичний сенс перетворення Фур'є: права частина - (нескінченна) сума гармонійних коливань e i ω x з частотами