Деякі класичні нерівності

3.   Деякі класичні нерівності
Відшукання ілюстрацій чи геометричних доведень для класичних нерівностей дає велику кількість підходів та конструкцій.
Почну з однієї з найпростіших.
Нехай a≥b>0.   Тоді (мал. 13)
(a+b)2=4ab+d2.
Тобто маємо a+b2≥ab   (нерівність Коші).
Рівність виконується у випадку, коли d=0 (тобто a=b).

Наступні геометричні доведення нерівності Коші для двох додатних чисел хоча і складніші, але теж цікаві і повчальні, бо використовують інші засоби і конструкції.
На сторонах прямого кута CAM
(мал. 14). Відкладемо відкладемо відрізки AC= b,   AD=a   і проведемо бісектрису AB кута CAD.
Через точку D проводимо пряму DFE паралельно ACF∈AB,   E∈BC⊥AC.   Фігура   ADFBC складається з двох рівнобедрених прямокутних трикутників ADF і ACB. Їх площі T=12a,  
S=12b, площа прямокутника ADEC дорівнює ab .   Оскільки площа фігури ADFBC   не менша, ніж площа прямокутника ADEC, то a+b2≥ab.
З малюнка видно, що рівність має місце лише тоді, коли точки B і E збігаються, тобто лише тоді, коли a=b.

Друге доведення.
Побудую на відрізку AB=a+b півколо з центром у точці O (мал.15)
AC=a, CB=b, CD⊥AB.   CD=ab,
OD=a+b2,   CD≤OD.
Рівність має місце тоді і лише тоді, коли точки C і D збігаються, тобто коли a=b.

Прямокутна трапеція теж може виступати як основа для доведення деяких відомих алгебраїчних