Комплексные числа

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА


Конспект (4 бали)


1. Поняття комплексного числа.





      У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел (наприклад, при розв’язку квадратних рівнянь, коли дискримінант від’ємний). Щоб ця дія стала можливою, ввели множину нових чисел.


Число [pic], де [pic] і [pic] – будь-які дійсні числа, [pic] – уявна одиниця, називається комплексним числом. [pic]  називають дійсною частиною, [pic] – уявною частиною комплексного числа.


      Число, квадрат якого дорівнює [pic], позначають буквою [pic] і називають уявною одиницею ([pic] – перша буква латинського слова imaginarius – уявний).


Тобто, для символу [pic] виконується рівність


[pic].


      Запис [pic] називають алгебраїчною формою комплексного числа.


Примітка! Слово "комплексний" означає складений.


      Часто комплексне число позначають буквою [pic] і записують [pic].






  1. Поняття рівних, спряжених і протилежних комплексних чисел.





Два комплексних числа [pic] і [pic] рівні між собою тоді і тільки тоді, коли [pic] і [pic], тобто, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.


      Поняття "більше" і "менше" для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше [pic] чи [pic], [pic] чи [pic].


Числа [pic] і [pic], дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.


      Приклад.


      Спряженими є комплексні числа [pic] та [pic].


      Якщо дано число [pic], то спряженим до нього є [pic].